函数是中学数学课程的主线,请结合实例谈谈如何用函数的观点认识中学数学课程中的方程、不等式、数列等内容。
函数是中学数学课程的主线,它贯穿于整个中学数学课程中,方程、不等式、数列等内容均与函数有非常 密切的联系。(1) 函数与方程。中学数学课程中一元二次方程的求解问题,可以转化成求对应函数的零点问题。例如, 求方程的实数根,可以转化为求函数与x轴交点的横坐标的值,即求函数的零点问题。由此可以看出,方程可看作函数的局部性质,求方程的根就变成了思考函数图像与x轴的交点问题。利用函数的整体性质可以研究方程的根的性质,判断根的个数,并估计根所在的区间。(2) 函数与不等式。用函数的观点看,不等式就是确定使函数图像y =f(x)在x轴上方或下方的x的区域。中学数学课程中的一元二次不等式的求解问题,可以借助二次函数的图像找到不等式的解集。例如,求不等式的解集,可以通过画出函数的图像找到使函数值大于0的所有x组成的集合,而这个集合就是该不等式的解集。(3) 函数与数列。数列是一种特殊的函数,它的定义域为自然数集或自然数子集。数列是离散的函数,表现在坐标系中是一些离散的点的集合。中学数学课程主要涉及等差数列和等比数列,等差数列的通项公式是一次函数的离散化,等差数列的前n项和公式是二次函数的离散化,等比数列的通项公式以及前项和公式都是指数函数的离散化,因此可以借助函数的性质来研究数列。例如,求等差数列的前n项和在第几项取得最小值,可以将其转化为求函数的顶点横坐标问题,根据函数的顶点坐标公式可知,当 x = 2时,函数f( x )取得最小值,即Sn在第2项取得最小值。总之,在方程、不等式、数列等内容中,可以用函数思想去思考、解决问题,用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
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