已知一束光线在空气中从点A到达水面上的点P,然后折射到水下的点B(如图),设光在空气中的速度为c,在水中的速度为c',光线在点P的入射角为θ,折射角为θ '。
(1)若OP长为x0,请写出光线从点A到达点B所需时间T(x0)的表达式;(3分)(2)若T(x0)为光线从点A到达点B所需时间的极小值,求证:(7分)
(1)若0P = x0,则光线从点A到达点P的时间为光线从点P到达点B的时间为 ,从而光线从点A到达点B所需的时间为
(2)在水面上取一点P',设OP’=(0 <x <l),则光线从点A到达点P’的时间为;光线从点P'到达点B的时间为,从而光线沿A-P’-B从A点到达B点所需的时间为由于T(x0)为光线从点A到达点B时间的极小值,所以由费马定理知, 。注意到,
所以即有
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