试题出自试卷《四川省普通专升本《高等数学》真题汇编（三十）》

问题1选项
A.(ax+b)e ^-3x
B.x ²(ax+b)e ^-3x
C.axe ^-3x
D.e ^-3x

B

【考点】本题考查常微分方程-二阶微分方程-二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
【解题思路】方程y''+6y'+9y=xe^-3x对应的齐次方程的特征方程为r²+6r+9=0，解得r=-3（二重根），因为λ=-3是特征根，故原方程特解的待定系数形式为y*=x²(ax+b)e^-3x. 故本题选B.
【希赛点拨】
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
由二阶常系数非齐次线性微分方程通解的结构为y=Y+y*可知二阶常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy=f(x)通解为对应齐次线性微分方程y''+py'+qy=0的通解加上方程y''+py'+qy=f(x)的一个特解. 要求非齐次方程y''+py'+qy=f(x)的通解，只需讨论求非齐次方程y''+py'+qy=f(x)的一个特解y*.
对于一些特殊的右端项f(x)的形式，特解的形式如下表所示，其系数可用待定系数法来确定.

其中，λ，A，B，ω，C，D都是常数.