​2021年湖北专升本荆楚理工学院《高等代数》科目考试大纲

一、考试性质

“专升本”《高等代数》考试是为选拔专科应届优秀毕业生进入本科学习，在数学中分析问题和解决问题能力上的必要基础考试，以尽快适应本科学习对数学知识和技能的要求。

二、考试目的

本次考试的目的主要是测试考生在数学基础知识方面是否具有本科学习的能力。

三、考试内容

根据《高等代数》课程大纲的要求，并考虑高职高专教育的教学实际，特制定本课程考试内容。

第一章 多项式

1.理解多项式、整除、数域、互素、最大公因式、重因式和不可约多项式等概念;

2.理解有理系数多项式的基本性质;

3.理解因式分解及唯一性定理;

4.理解复系数与实系数多项式的因式分解定理;

5.理解有理系数多项式的基本性质;

6.掌握多项式的运算，带余除法，辗转相除法。

第二章 行列式

1.理解n阶行列式的概念及克莱姆法则;

2.掌握行列式的计算，代数余子式。

第三章 线性方程组

1.理解n维向量、n维向量空间的概念，线性组合、线性表出、等价、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组的秩等概念;

2.掌握矩阵的初等变换;

3.掌握向量组线性相关性的判别，向量组的极大线性无关组的求法，矩阵的秩的求法;

4.齐次线性方程组基础解系的求法以及非齐次线性方程组通解的求法。

第四章 矩阵

1.理解矩阵分块、伴随矩阵、等价矩阵、初等矩阵、几类特殊矩阵、n维向量的内积、长度、正交等概念;

2.掌握矩阵的运算;

3.会计算逆矩阵;

4.掌握向量组的正交化及单位化方法。

第五章 矩阵的对角化问题

1.理解相似矩阵的概念及其性质;

2.理解特征值、特征向量、特征多项式等概念，实对称矩阵的性质;

3.掌握矩阵的特征值与特征向量的求法;

4.掌握矩阵可相似对角化的条件，实对称矩阵的对角化的方法。

第六章 二次型

1.理解二次型、正交变换、标准形、规范形、正惯性指数、正定二次型、主子式、顺序主子式等概念;

2.掌握二次型的矩阵表示方法;

3.会用非退化线性变换化二次型为标准形和规范形;

4.掌握正定二次型的判定。

第七章 线性空间与线性变换

1.理解线性空间、基、维数、坐标和线性变换等概念;

2.理解基变换与坐标变换的关系，线性空间之间的同构关系;

3.掌握基、维数及坐标的计算;

4.掌握线性变换的矩阵及在不同基下的关系;

5.掌握线性子空间的交与和的维数和基的计算;

6.掌握线性变换的值域和核的计算，不变子空间的性质。

第八章 欧氏空间

1.理解欧氏空间、欧氏空间子空间及其正交补等概念;

2.掌握欧氏空间的标准正交基的计算;

3.掌握欧氏空间子空间的正交补的计算;

4.掌握正交变换与对称变换的定义及性质。

四、考试形式及时间

1.考试方式：笔试、闭卷

2.考试时间：90分钟

3.总 分：150分

五、教学参考书

[1] 王萼芳主编.高等代数.北京:高等教育出版社，2009年。

[2] 北京大学数学系前代数小组编. 高等代数(第五版).北京:高等教育出版社,2019年。