​自考《工程数学-线性代数》单元综合测试(1)

自考《工程数学-线性代数》单元综合测试(1)：本套试卷总分：100分；共有4大题；测试时间：120分钟

一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分。在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选或未选均无分。)

2.
第 1 题 n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个（　　）

A．互不相同的特征值
B．互不相同的特征向量     
C．线性无关的特征向量
D．线性相关的特征向量

4.
第 2 题 已知A是一个2×3矩阵，则下列命题中正确的是（　　）

A．若矩阵中所有二阶子式都为0，则r(A)＝1
B．若A中存在一阶子式不为0，则r(A)＝1
C．若r(A)＝1，则A中所有二阶子式全为0　　
D．若r(A)＝1，则A中所有一阶子式都不为0

6.
第 3 题 设有向量组α1，α2，α3，α4，α5，其中α1，α3，α5线性无关，则（　　）

A．α1，α3线性无关
B．α1，α2，α3，α4，α5线性相关　　
C．α1，α2，α3，α5线性相关
D．α1，α2，α3，α4，α5线性无关

8.
第 4 题 若矩阵正定，则t的取值范围是（　　）

A．0<t<4　　
B．0<t≤4
C．t>4
D．t≥4

10.
第 5 题 （　　）

A．1
B．3
C．4　　
D．2

12.
第 6 题 二次型的规范形是（　　）

14.
第 7 题 设A、B均为n阶非零矩阵，且AB＝O，则A、B的秩（　　）

A．必有一个为零
B．一个小于n，一个等于n
C．都等于n　　
D．都小于n

16.
第 8 题 设Ax＝0是Ax＝b的导出组，则下列结论正确的是（　　）

A．若Ax＝0仅有零解，则Ax＝b有无穷解
B．若Ax＝0有非零解，则Ax＝b有无穷多解
C．若Ax＝b有无穷多解，则Ax＝0有非零解     
D．若Ax＝b有唯一解，则Ax＝0有非零解

18.
第 9 题 二次型的正惯性指数为（　　）

A．0
B．1
C．3　　
D．2

20.
第 10 题 若三阶方阵A的行列式等于零，则必有（　　）

A．A中至少有一个列向量是其余列向量的线性组合     
B．A中每一个列向量均是其余列向量的线性组合
C．A中必有一列为零列
D．A的行向量组线性无关

二、填空题(本大题共10小题。每小题2分。共20分。请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。)

2.
第 11 题 矩阵是__________矩阵．

4.
第 12 题 设A＝[－1，2]T，B＝[3，2，1]T，则ABT＝__________。

6.
第 13 题 设n阶矩阵A有一个特征值为－2，则|A＋2E|＝__________。

8.
第 14 题 设，则AB＝__________。

10.
第 15 题 若二次型的秩为3，正惯性指数为1，则其标准形为__________。

12.
第 16 题

14.
第 17 题

16.
第 18 题 向量组的最大无关组为__________。

18.
第 19 题 特征值全为1的正交矩阵必是__________。

20.
第 20 题 设线性方程组有无穷多个解，则λ＝__________。

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分。共54分)

2.
第 21 题 计算行列式

4.
第 22 题

6.
第 23 题 设α1，α2，α3，α4线性无关，令β1＝α1＋α2＋α4，β2＝α1＋α3＋α4，β3＝α2＋α3＋α4，β4＝α1＋α2＋α3，试判别向量组β1，β2，β3，β4的线性相关性。

8.
第 24 题 已知二次型经正交变换化为标准形，求所用的正交矩阵P。

10.
第 25 题 求非齐次线性方程组的解。

12.
第 26 题 设三阶方阵A的特征值为2，1，4，相应的特征向量为
求A。

四、证明题(本大题共1题，每小题6分，共6分)

2.
第 27 题