​全国2003年10月高等教育自学考试《高等数学（一）》试题

本试卷总分100分，考试时间150分钟。

一、单项选择题（每小题1分，共40分）

1.下列集合中为空集的是（　　　）

A.{x|e^x=1}
B.{0}
C.{(x, y)|x^2+y^2=0}
D.{x| x^2+1=0,x∈R}

2.函数f(x)=与g(x)=x表示同一函数，则它们的定义域是（　　　）

A.

（-∞，0]

[0,+∞)

(-∞,+∞)

(0,+∞)

6.设，则m=（　　　）

A.1/2
B.2
C.-2
D.-1/2

4.设函数f(x)在[-a, a](a>0)上是偶函数，则f(-x)在[-a, a]上是（　　　）

A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.可能是奇函数，也可能是偶函数

5.（　　　）

A.1
B.0
C.∞
D.2

3.函数f(x)（　　　）

A.
B.
C.
D.

7.设f(x)=,则（　　　）

A.2
B.∞
C.1
D.4

9.函数在一点附近有界是函数在该点有极限的（　　　）

A.必要条件
B.充分条件
C.充分必要条件
D.无关条件

11.下列函数中在x=0处不连续的是（　　　）

A.
B.
C.
D.

15.设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f＇(0)=（　　　）

A.0
B.1
C.3
D.3！

16.设y=sin^3，则y＇=（　　　）

A.
B.
C.
D.

17.设y=lnx,则y^(n)=（　　　）

A.
B.
C.
D.

18.（　　　）

A.cosx
B.-sinx
C.cosx/2
D.cosx/2x

20.函数y=|x-1|+2的极小值点是（　　　）

A.0
B.1
C.2
D.3

24.设f(x)在（-∞，+∞）上有连续的导数，则下面等式成立的是（　　　）

A.
B.
C.
D.

25.（　　　）

A.
B.
C.
D.

26.（　　　）

A.-1-3ln2
B.-1+3ln2
C.1-3ln2
D.1+3ln2

27.（　　　）

A.
B.
C.
D.

28.经过变换，(　　　)

A.
B.
C.
D.

29.(　　　)

A.2/e
B.-2/e
C.2e
D.-2e

31.级数的和等于 (　　　)

A.5/3
B.－5/3
C.5
D.－5

32.下列级数中，条件收敛的是(　　　)

A.
B.
C.
D.

33.幂级数的收敛区间是（　　　）

A.

（0,2]

(-1,1]

[-2,0]

(-∞,+∞)

34.点（－1，－1，1）在下面哪一张曲面上 (　　　)

A.
B.
C.
D.

36.设 ，则(　　　)

A.1/2
B.1
C.2
D.0

38.下列函数中为微分方程y'+y=0的解的是(　　　)

A.
B.
C.
D.

39.下列微分方程中可分离变量的是(　　　)

A.
B.
C.
D.

40.设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则=(　　　)

A.ln2
B.2+ln2
C.2
D.2ln2

8.设是无穷大量，则x的变化过程是（　　　）

A.x→0+
B.x→0-
C.x→+∞
D.x→-∞

12.设f(x)=e^2+x,则当△x→0时，f(x+△x)-f(x)→（　　　）

A.△x
B.e^2+△x
C.e^2
D.0

14.设总收益函数R(Q)=40Q-Q^2，则当Q=15时的边际收益是（　　　）

A.0
B.10
C.25
D.375

19.f＇(x)<0,x∈(a, b) ，是函数f(x)在(a, b)内单调减少的（　　　）

A.充分条件
B.必要条件
C.充分必要条件
D.无关条件

23.（　　　）

A.
B.
C.
D.

30.(　　　)

A.2
B.1
C.∞
D.2/3

35.设 f(u,v)=(u+v)^2，则 =(　　　)

A.
B.
C.
D.

37.设，则(　　　)

A.6
B.3
C.－2
D.2

13.设函数f(x)=，则（　　　）

A.-1
B.-∞
C.+∞
D.1

21.函数y=2ln的水平渐近线方程为（　　　）

A.y=2
B.y=1
C.y=-3
D.y=0

10.定义域为[-1，1]，值域为（-∞，+∞）的连续函数（　　　）

A.存在
B.不存在
C.存在但不唯一
D.在一定条件下存在

22.设f(x)在[a, b](a<b)上连续且单调减少，则f(x)在[a, b]上的最大值是（　　　）

A.
B.
C.
D.

二、计算题（一）（每小题4分，共12分）

1.求极限.

2.设，求，.

3.求微分方程y'-ytgx=x的通解.

三、计算题（二）（每小题7分，共28分）

2.求定积分.

3.将函数（1+x）ln(1+x)展开成x的幂级数，并指出其收敛域.

4.设f(x,y)是连续函数.改变的积分次序.

1.设y=ln(cscx-ctgx)，求y'.

四、应用题（每小题8分，共16分）

1.求由圆面 ≤ 绕x轴旋转一周所形成的物体的体积.

2.设某商品每周生产x单位时，总成本为C（x）=100+2x，该产品的需求函数为x=800-100p (p为该商品单价)，求能使利润最大的p值.

五、证明题（本题共4分）

1.证明方程在区间（0，1）内有唯一实根.