MBA数学排列与组合考点总结

希赛网MBA频道为广大考生整理出MBA数学排列与组合考点总结，供大家参考学习。希望能为大家在研究生考试中提供到帮助。

一、基本计数原理

(1)加法原理和分类计数法

1.加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

2.第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

3.分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) 。

(2)乘法原理和分步计数法

1. 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

2.合理分步的要求

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

二、二项式定理

(a+b)^n=Σ(0->n)C(in)a^(n-i)b^i[1]

通项公式：a_(i+1)=C(in)a^(n-i)b^i

二项式系数：两端是1，除1外的每个数是肩上两数之和。

系数性质：（1）和首末两端等距离的系数相等；

（2）当幂指数是奇数时，中间两项最大且相等；

（3）当幂指数是偶数时，中间一项最大。

（4）奇数项和偶数项总和相同，都是2^(n-1)；

（5）所有系数总和是2^n

三、组合数的奇偶

奇偶定义：对组合数C(n,k) (n>=k)：将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k)为偶数；否则为奇数。

下面是判定方法：

结论：

对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。

证明：

对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。

证明：

利用数学归纳法：

由C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1);

对应于杨辉三角：

    1

   1 1

  1 2 1

 1 3 3 1

1 4 6 4 1

………………

可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下，C(n,k)满足结论。

1)假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数：

则有：(n-1)&k == k;

(n-1)&(k-1) == k-1;

由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1 　　。

现假设n&k == k。

则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。

因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。

所以得n&k != k。

2)假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数：

则有：(n-1)&k != k;

(n-1)&(k-1) != k-1;

现假设n&k == k.

则对于k最后一位为1的情况：

此时n最后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，与假设矛盾。

而对于k最后一位为0的情况：

则k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意个0。

相应的，n对应的部分为： 1{*}*; *代表0或1。

而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则(n-1)&k == k成立，所以n对应部分也应该是10。

则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，与假设矛盾。

所以得n&k != k。

由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时，n&k != k。

3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数：

则有：(n-1)&k == k;

(n-1)&(k-1) != k-1;

显然，k的最后一位只能是0，否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。

所以k的末尾必有一部分形如：10;

相应的，n-1的对应部分为： 1{*}*;

相应的，k-1的对应部分为： 01;

则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.

所以n的对应部分也就为 ： 1{*}*; (不会因为进位变1为0)

所以 n&k = k。

4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数：

则有：(n-1)&k != k;

(n-1)&(k-1) == k-1;

分两种情况：

当k-1的最后一位为0时:

则k-1的末尾必有一部分形如： 10;

相应的，k的对应部分为 : 11;

相应的，n-1的对应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k)

相应的，n的对应部分为 : 1{*}1;

所以n&k = k。

当k-1的最后一位为1时：

则k-1的末尾必有一部分形如： 01; (前面的0可以是附加上去的)

相应的，k的对应部分为 : 10;

相应的，n-1的对应部分为 : 01; (若为11，则(n-1)&k == k)

相应的，n的对应部分为 : 10;

所以n&k = k。

由3),4)得出当C(n,k)为奇数时，n&k = k。

综上，结论得证。