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第二章 数学与工程基础

一、 图论应用

1、最小生成树

（1）在连通的带权图的所有生成树中，权值和最小的那棵生成树（包含图中所有顶点的树），称作最小生成树。求带权连通无向图的最小生成树的算法有普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法。

（2）解题关键：每次找最短边，直到将所有结点连成一棵没有回路的树。

2、最短路径

（1）带权图的最短路径问题即求两个顶点间长度最短的路径。其中路径长度不是指路径上边数的总和，而是指路径上各边的权值总和。路径长度的具体含义取决于边上权值所代表的意义。

（2）解题关键：从源点出发，计算源点到下一节点的最短路径。后续分析时，每次只考虑当前节点前一个节点的最短路径长度，直到终点位置，分析其最短路径。

3、网络与最大流量

（1）许多应用包含了流量问题。例如，公路系统中有车辆流，控制系统中有信息流，网络系统中有数据流，金融系统中有现金流等。在实际应用中，很多时候需要寻求最大流量问题。最大流量问题是一个特殊的线性规划问题。

（2）解题关键：每次查找并抽取起点到终点的最大流量路径，直到没有可达路径为止，抽取的流量总和即为最大流量。

二、预测和决策

1、线性规划的特点

线性规划的可行解域区是由一组线性约束条件形成的，从几何意义来说，就是由一些线性解面围割形成的区域，不一定是封闭的多边形或多面体。

如果存在两个最优解，则连接这两点的线段内所有的点都是最优解，而线段两端延长线上可能会超出可行解区。

增加一个约束条件时，要么缩小可行解域区（新的约束条件分割了原来的可行解域区），要么可行解域区不变（新的约束条件与原来的可行解域区不相交）。

如果最优解在可行解域区边界某个非顶点处达到，则随着等值域向某个方向移动，目标函数的值会增加或减少（与最优解矛盾）或没有变化（在此段边界上都达到最优解），从而仍会在可行解域区的某个顶点处达到最优解。若最优解存在且唯一，则可以从可行解区顶点处比较目标函数值来求解。

2、动态规划

动态规划是求解决策过程最优化的过程。

解题关键：可通过暴力法/穷举法，将所有方案列举出来，求最优解。也可以通过贪心策略，找到最初方案再进行调整，直到找到最优解。

3、风险型决策

决策树分析是一种用于分析决策过程的方法。它通过将决策过程建模为一棵决策树，从而明确各个决策节点的决策选项和相应的风险和效益，进而帮助决策者做出最佳决策。

三、数学建模

1、建模过程

模型准备：了解问题的实际背景，用数学语言来描述问题。

模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

模型建立：在假设的基础上，建立相应的数学结构。

模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。

模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。

模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。

模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

2、常见的数学建模方法

（1）直接分析法

（2）类比法

（3）数据分析法

（4）构想法